ის იყო შეუდარებელი ჯონი ფონ ნოიმანი.
მან გაიქროლა ჩვენ სფეროში,
და სრულიად შეცვალა ის[2].
პოლ სემიუელსონი.
2001 წლის ერთ-ერთი მთავარი მოვლენა ჰოლივუდში იყო რონ ჰოვარდის ფილმი „ბრწყინვალე გონება“[3]. ფილმი, რომელიც სილვია ნასარის ამავე სახელწოდების წიგნს ეფუძნებოდა, მათემატიკოს ჯონ ნეშის ბიოპიკს[4] წარმოადგენდა და მისმა წარმატებამ გააღვივა ინტერესი დისციპლინაში, რომელიც მანამდე ფართო მასებში დიდი ცნობადობითა და პოპულარობით არ სარგებლობდა – თამაშთა თეორიაში. ეს ინტერესი, ძირითადად, თავად ჯონ ფორბს ნეშ უმცროსის ექსცენტრულმა და ტრაგიკულმა ფიგურამ განაპირობა. გენიალური, თითქმის ფონ ნოიმანის მასშტაბის მათემატიკოსი, რომლის 21 წლის ასაკში დაწერილი დისერტაცია წლების მერე ეკონომიკაში ნობელის სახელობის პრემიას მოუტანს, 30 წლის ასაკში ავადდება პარანოიდული შიზოფრენიით, წლები იტანჯება ჰალუცინაციებით, გადის მკურნალობის არაერთ მტკივნეულ, მაგრამ უშედეგო პროცესს და ბოლოს უბრუნდება პრინსტონს, სადაც, ყველასგან მივიწყებული, მოჩვენებასავით ცხოვრობს კამპუსზე. პარალელურად, ეკონომიკაში, მათემატიკაში, პოლიტიკურ მეცნიერებაში, ევოლუციურ ბიოლოგიაში სულ უფრო და უფრო ხშირად ჩნდება მისი სახელი და ეს, უმეტესწილად, ასოცირდება თამაშთა თეორიის გამოყენებასთან სხვადასხვა სფეროში – თუმცა არავინ აკავშირებს ამ ნეშსა და პრინსტონის განდეგილს ერთმანეთთან. და უცბად, ყველაფერი ჰოლივუდის ფილმს ემსგავსება! დაახლოებით 1990 წელს ჯონ ნეში „ფხიზლდება“, იწყებს ურთიერთობას კოლეგებთან, სწერს მეილებს, უბრუნდება კვლევებს. ხოლო 1994 წლის ოქტომბერში, მისი მეგობარი ჰაროლდ კუნი, წინასწარ მომზადებულ და გათამაშებულ საუბარში[5] აფრთხილებს ნეშს, რომ მეორე დილას, ასე ექვსისკენ, მას დაურეკავს შვედეთის მეცნიერებათა აკადემიის გენერალური მდივანი და ამცნობს, რომ მას, ჯონ ნეშს, მიენიჭა ნობელის სახელობის პრემია ეკონომიკაში.
ჯონ ნეში გენიალური მათემატიკოსი იქნებოდა თამაშთა თეორიის არსებობის გარეშეც. სავარაუდოდ, მისი ისტორია ისეთივე იქნებოდა – გენიალური მიგნებები, ტრაგიკული დაავადება, სასწაულებრივი გამოჯანმრთელება. მაგრამ, დიდი ალბათობით, ამის შესახებ მხოლოდ სპეციალისტებს ან მათემატიკის მოყვარულებს ეცოდინებოდათ[6]. ნეშის ამბის გაჰოლივუდებაში როლი მისმა პრემიამ ითამაშა, რომელსაც ვერ მიიღებდა, რომ არა თამაშთა თეორია, დისციპლინა, რომელიც შექმნა ჯონ ფონ ნოიმანმა.
თავისი არსით, თამაშთა თეორია არის ისეთი სიტუაციების შესწავლა, როდესაც ერთი ადამიანის აზრი იმის შესახებ, თუ რას იზამს მეორე, ახდენს გავლენას მის (პირველი ადამიანის) გადაწყვეტილებაზე. თამაში, ამ თვალსაზრისით, არის სტრატეგიული კონფლიქტი, რომელშიც მოთამაშეთა სვლები და სტრატეგიები იმაზეა დამოკიდებული, თუ რას ფიქრობენ მოთამაშეები ოპონენტების შესაძლო სტრატეგიებსა და სვლებზე. ამ ჩარჩოში ჩვენ შეგვიძლია აღვწეროთ პოკერი, ბირთვული ომი, ბუნებრივი გადარჩევა, აუქციონები და თამაშთა მეფე – ჭადრაკიც კი[7]. ამიტომ, არაა გასაკვირი, რომ პირველი, ვინც შეეცადა თამაშების მათემატიკურად ფორმალიზებას იყო დიდი გერმანელი მოჭადრაკე, მეორე მსოფლიო ჩემპიონი ემანუელ ლასკერი. ლასკერი განათლებით მათემატიკოსი იყო, საკმაოდ კარგიც[8], თუმცა, ებრაული წარმოშობის გამო, აკადემიური თანამდებობა ვერ მიიღო და ჭადრაკის თამაშით ირჩენდა თავს. როგორც მოჭადრაკე, ის ძირეულად განსხვავდებოდა იმ პერიოდის სხვა დიდი მოთამაშეებისგან, ითვალისწინებდა რა, ფსიქოლოგიას და თითოეულ მატჩს და თითოეულ მოწინააღმდეგეს ინდივიდუალურად უდგებოდა[9]. ჭადრაკი მისთვის ყოველდღიური ეკონომიკური და სოციალური ცხოვრების ანალოგი იყო, სადაც სტრატეგიული მიდგომა, მინიმალური ძალისხმევით საწადელის მიღწევა ისეთივე მნიშვნელოვანი იყო. 1907 წელს მან გამოაქვეყნა წიგნი „ბრძოლა“[10], რომელშიც შეეცადა თამაშის ცნება განევრცო სოციალური და ეკონომიკური სფეროს ანალიზზე[11]. წიგნში ის წერს ვაჭრის/გამყიდველის ბრძოლაზე – მის სურვილზე მიაღწიოს ყიდვა-გაყიდვაში საუკეთესო მონეტარულ უპირატესობას მინიმალური ენერგიის/რესურსების დახარჯვით. მიუხედავად ამბიციურობისა და ლასკერის ბრწყინვალე მათემატიკური განათლებისა, „ბრძოლა“ მაინც უფრო ფილოსოფიური ნაწარმოები იყო. და მაინც, ლასკერი თითქმის მთელი ცხოვრება უბრუნდებოდა ამ იდეას და 1925 წლის „ჭადრაკის სახელმძღვანელოში“ ლასკერი ოცნებობს ახალ მათემატიკაზე[12], რომლის გამოყენება კონფლიქტების მოგვარებისთვის იქნებოდა შესაძლებელი. თუკი ჰილბერტს შეუძლია იოცნებოს მათემატიკის სრულ აქსიომატიზაციაზე, რატომ არ დავუმატოთ ამას ადამიანებს შორის თანამშრომლობისა და ქიშპობის მკაცრი თეორიაც? და, თითქოს ლასკერის საპასუხოდ, თამაშთა თეორიის ჯერ არარსებულ არენაზე გამოდის ჯონ (მაშინ – ჯერ კიდევ იოჰან) ფონ ნოიმანი[13].
1928 წელს ის აქვეყნებს სტატიას „სტრატეგიული თამაშების თეორიის შესახებ“[14], რომელიც, მიუხედავდ ცერმელოსა და ბორელის მცდელობებისა, სავსებით შეიძლება ჩაითვალოს თამაშთა თეორიის სათავედ. ის თავიდანვე ცდილობს მაქსიმალურად ზოგად ამოცანას გაუმკლავდეს – როგორ უნდა თამაშობდეს მოთამაშე ბევრი ოპონენტის გარემოცვაში, რათა მისთვის ყველაზე უპირატესი შედეგი მიიღოს? მისთვის ნებისმიერი მოვლენა, გარემო პირობებისა და მონაწილეების გათვალისწინებით, სტრატეგიულ თამაშს წარმოადგენს, სადაც მოთამაშეებზე სხვა მოთამაშეების ქმედებები ახდენს გავლენას[15]. მეტიც, სქოლიოში ის ამატებს, რომ ეს კლასიკური ეკონომიკის ძირითადი პრობლემაა – „როგორ მოიქცევა აბსოლუტურად ეგოისტური „homo economicus” მოცემულ გარემოებებში?“. თამაშის ზოგადი წესების განსაზღვრის შემდეგ, ის ამარტივებს ამოცანას და ორმოთამაშიან თამაშს განიხილავს, სადაც მოთამაშეებს სასრული რაოდენობის წინასწარ განსაზღვრული სტრატეგიები აქვთ და ერთი მოთამაშის მოგება მეორის წაგებას ნიშნავს[16]. ასეთი თამაშისთვის ის ამტკიცებს ე.წ. მინიმაქსის თეორემას. ზედმეტ დეტალებში რომ არ შევიდე, მინიმაქსის თეორემა გულისხმობს, რომ ასეთ თამაშებში ყოველთვის შეგვიძლია ავარჩიოთ სტრატეგიების ისეთი წყვილი[17] და რაღაც ამონაგები, რომ ეს უკანასკნელი საუკეთესო შედეგი იქნება ორივე მოთამაშისთვის (ერთისთვის – მაქსიმალური შესაძლო მოგება, მეორისთვის – მინიმალური შესაძლო წაგება). ლასკერის ოცნება ასრულებას იწყებს.
მაგრამ ჯონისთვის ეს შედარებით უმნიშვნელო ნაშრომი იყო და მას ახალი ჰორიზონტები ელოდა წინ – რომლებზეც უკვე ვისაუბრეთ. სტრატეგიული ურთიერთობების იდეას ის მხოლოდ 1940-იანებში დაუბრუნდება, თუმცა მანამდე ის კიდევ ერთხელ შეეხო ეკონომიკას, სტატიაში, რომელსაც ეკონომისტების უმეტესობა დიდად არ იცნობს, მაგრამ ვინც იცნობს, მათემატიკური ეკონომიკის ერთ-ერთ უდიდეს მიღწევად მიიჩნევს[18]. 1928 წელს ჯონი ეკონომიკით დაინტერესდა და თავის მეგობარს, მომავალ ცნობილ ეკონომისტს ნიკოლას კალდორს სთხოვა, ერჩია მოკლე წიგნი, რომელიც მათემატიკური ენით ეკონომიკას გადმოსცემდა. კალდორმა ურჩია რამდენიმე სახელმძღვანელო, რომელთა შორის იყო ლეონ ვოლრას[19], ზოგადი ეკონომიკური წონასწორობის თეორიის ფუძემდებლის წიგნი. ვოლრას თეორიის აღწერა შორს წაგვიყვანს, უბრალოდ ვიტყვი, რომ ამ თეორიის მიხედვით, ბაზრების ერთობლიობის შემთხვევაში ყოველთვის არსებობს წონასწორობა, როდესაც ყველა ბაზარზე ერთდროულად მოთხოვნა უდრის მიწოდებას და ამ წონასწორობაში ჩვენ გვაქვს ყველა საქონლის ზუსტად განსაზღვრული ფასი[20]. ნოიმანმა დაუწუნა ვოლრას მათემატიკა და თეორიის თავისი ვარიანტი წარადგინა 1937 წელს კარლ მენგერის[21] ვენის კოლოკვიუმზე. სტატიას ერქვა „ზოგადი ეკონომიკური წონასწორობის მოდელი“ და მასში ფონ ნოიმანმა შეცვალა ვოლრას განტოლებების სისტემა უტოლობების სისტემად და საკმაოდ რთული[22] მათემატიკით აჩვენა, რომ შესაძლებელია, ეკონომიკაში ყველა საქონელი იწარმოებოდეს ყველაზე დაბალი შესაძლო ხარჯით და მაქსიმალური რაოდენობით, რასაც ერთადერთი დინამიკური წონასწორობა შეესაბამება. ამ წონასწორობაში ეკონომიკა იზრდება მაქსიმალურად შესაძლებელი ტემპით[23]. განსხვავებით ადრინდელი მოდელებისგან, რომლებიც უბრალოდ უშვებდნენ წონასწორობის არსებობას, ფონ ნოიმანი წონასწორობის არსებობას საკუთარი აქსიომებიდან[24] გამომდინარე ამტკიცებდა. მიუხედავად მათემატიკური სიმკაცრისა, ნოიმანი არ ითვლიდა, რომ მისი მოდელი რეალურ ეკონომიკას ასახავდა – მისთვის ეს მხოლოდ მოდელი იყო. მისთვის ეკონომიკა, განსხვავებით საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებისგან, ძალიან ახალგაზრდა მეცნიერება იყო და საჭირო იყო გაცილებით მეტი კვლევა და, მისი აზრით, გაცილებით მეტი მათემატიკა, რომ ეკონომიკა განვითარებული მეცნიერება გამხდარიყო[25]. ეს სტატია მართლაც გახდა ეკონომიკის მათემატიზაციის ერთგვარი თრიგერი – საკმარისია შევადაროთ 1930-იანი და 1950-იანი წლების ეკონომიკური ჟურნალები, რომ ამაში დავრწმუნდეთ. მაგრამ იმ დროისთვის ჯონის ეკონომიკა დიდად აღარ აინტერესებდა – სტატიის გამოქვეყნებიდან 4 წელიწადში ის თამაშთა თეორიას დაუბრუნდა და ამ დაბრუნებაში დიდი როლი მისმა ახალმა მეგობარმა, გერმანელმა ეკონომისტმა ოსკარ მორგენშტერნმა ითამაშა.
ოსკარ მორგენშტერნი, გერმანიაში დაბადებული და ავსტრიაში ჩამოყალიბებული ეკონომისტი, უცნაური და საინტერესო პიროვნება იყო. დედამისი იყო გერმანიის იმპერატორის, ფრიდრიხ III-ის უკანონო შვილი და ოსკარის სახლში, ამერიკაში, კედელზე ეკიდა, შესაძლოა ქვეყანაში ერთადერთი, გერმანელი კაიზერის პორტრეტი[26]. განსხვავებით ამ ბიოგრაფიაში ნახსენები ადამიანების უმეტესობისგან, მათემატიკაში დიდი ნიჭით ოსკარი არ გამოირჩეოდა და, საბოლოო ჯამში, ეკონომისტის კარიერა არჩია[27], მათ შორის იმიტომაც, რომ თვლიდა, რომ ადამიანის ქცევა ვერ მოექცევა მათემატიკურ კანონზომიერებებში. როგორც ავსტრიაში განათლებამიღებულ ადამიანს შეეფერება, ის ავსტრიის ეკონომიკური სკოლის[28] და, პირველ რიგში, ლუდვიგ ფონ მიზესის გავლენის ქვეშ მოექცა. ეს უკანასკნელი თავისუფალი ბაზრების გაცილებით უფრო რადიკალური მომხრე იყო, ვიდრე ავსტრიული სკოლის წინა ორი თაობის წარმომადგენლები და მიუხედავად იმისა, რომ, ებრაული წარმოშობის გამო, მნიშვნელოვანი აკადემიური თანამდებობა არ ეკავა[29], უდიდესი გავლენით სარგებლობდა თავის მომხრეებში და მოწაფეებში. ორ კვირაში ერთხელ ის თავის ოფისში ატარებდა კერძო სემინარებს, რომლებსაც, სხვებთან ერთად მეოცე საუკუნის ყველაზე გავლენიანი[30] ავსტრიელი ეკონომისტი, ფრიდრიხ ჰაიეკიც ესწრებოდა. მორგენშტერნი არც ერთ სემინარს არ ტოვებდა, თუმცა წუწუნებდა, რომ ამ სემინარზე ერთადერთი წმინდა სისხლის არიელი იყო[31].
1925 წელს მორგენშტერნმა, ფონ ნოიმანზე ერთი წლით ადრე, როკფელერის ფონდის გრანტი მიიღო და მომდევნო სამი წლის მანძილზე აქტიურად მოგზაურობდა. რადგან ეს მაინც ფონ ნოიმანის და არა მორგენშტერნის ბიოგრაფიაა, ამ დეტალებსაც გამოვტოვებ და მხოლოდ იმას აღვნიშნავ, რომ ინგლისში ის შეხვდა უაღრესად საინტერესო ეკონომისტს, ფრენსის ისიდრო ეჯვორთს[32], რომელმაც ეკონომიკის მათემატიზაციაზე მუშაობა ფონ ნოიმანამდე დიდი ხნით ადრე დაიწყო. ეჯვორთმა თავიდან შეაყვარა მათემატიკა მორგენშტერნს, მაგრამ მორგენშტერნი მაინც დარწმუნებული დარჩა, რომ მათემატიკა და ეკონომიკა არათავსებადი ცნებებია და თავისი სადოქტორო დისერტაციაც ამას მიუძღვნა. მისი ძირითადი არგუმენტი იყო, რომ ნებისმიერი ეკონომიკური პროგნოზი გავლენას მოახდენს ბიზნესისა და მოსახლეობის ქცევაზე ისე, რომ მათი რეაქცია პროგნოზს უსარგებლოს გახდის. თუკი პროგნოზისტები ამ ფაქტის გათვალისწინებას ეცდებიან და პროგნოზს შეცვლიან – იმავეს იზამს ბაზარი და ციკლი უსასრულოდ განმეორდება, წონასწორობის მიღწევის გარეშე[33]. ერთ-ერთმა მათემატიკოსმა ისიც კი ურჩია, წაეკითხა ფონ ნოიმანის სტატია თამაშთა თეორიაზე, მაგრამ მორგენშტერმა დიდად ყური არ ათხოვა ამ რჩევას. 1938 წლის იანვარში ის ამერიკაში გაემგზავრა და, მარტის ანშლუსის მერე, იქვე დარჩა, სადაც მიიღო მიწვევა პრინსტონში და გაიცნო ჯონ ფონ ნოიმანი. მალე ის აღარ სცილდებოდა ჯონის, განსაკუთრებით მას მერე, რაც გაიგო, რომ, მის მსგავსად, ფონ ნოიმანიც არ სცემდა თანამედროვე ეკონომიკას დიდ პატივს[34]. საერთო მათთვის, პირველ რიგში, სწორედ ჰოლმსის და მორიარტის პრობლემა აღმოჩნდა – პრინციპში, ფონ ნოიმანის ძველი სტატია სწორედ ასეთ პრობლემას წყვეტდა. 1940 წლიდან ჯონი აქტიურად იწყებს ფიქრს თამაშთა თეორიის გავრცობაზე და როდესაც მორგენშტერნმა გადაწყვიტა დაეწერა სტატია, რომელიც ეკონომისტებს თამაშთა თეორიას გააცნობდა, ფონ ნოიმანმა მყისიერად შესთავაზა, ერთად დავწეროთო. ის, რაც ოსკარს მაქსიმუმ ასგვერდიანი მარტივი, პოპულარული ნაშრომი ეგონა, რომელსაც, მისი თქმით, თვენახევარში დაასრულებდნენ[35], გადაიზარდა სამი წლის მანძილზე ტიტანურ შრომად და 640 გვერდიან ვეებერთელა ტომად, რომელსაც ეწოდა „თამაშთა და ეკონომიკური ქცევის თეორია“.
მათემატიკის უცოდინარი მორგენშტერნის როლი წიგნზე მუშაობაში შემოიფარგლებოდა თეორიის ეკონომიკურ ასპექტებზე საუბრით და საინტერესო კითხვების დასმით. ჯონიმ არ იცოდა ეკონომიკა და ოსკარი იდეალური ჰორაციო აღმოჩნდა ფონ ნოიმანის ჰამლეტისთვის. ეს ყოველდღიური თანამშრომლობა აღიზიანებდა კლარას, რომელიც იმ პერიოდში ორნამენტულ სპილოებს აგროვებდა და კატეგორიულად მოითხოვა, რომ წიგნში ერთი სპილო მაინც ყოფილიყო. ჯონისთვის ცოლის კომფორტი მნიშვნელოვანი იყო:
სიმრავლის განაწილების მაგალითი.
1943 წლის აპრილში წიგნი გამომცემლობაში იყო. ამ პერიოდის განმავლობაში მორგენშტერნმა კიდევ უფრო საბოლოოდ დაკარგა რწმენა საკუთარ დისციპლინაში და წიგნის წინასიტყვაობა, რომელიც მთლიანად მას ეკუთვნის, სწორედ ამ ლაიტმოტივით არის განსმჭვალული. ეკონომისტები არ/ვერ აყალიბებენ იმ სოციალურ პრობლემებს, რომელთა შესწავლა უნდათ, საკმარისად ზუსტად, რომ მათემატიკის გამოყენება იყოს შესაძლებელი. ეკონომისტები, ფიზიკოსებისგან განსხვავებით, არ/ვერ აგროვებენ საკმარის მასალას, რათა ეკონომიკაში მოხდეს ნიუტონისეული რევოლუციის ანალოგი, რომელიც სწორედ საუკუნეების მანძილზე შეგროვებულ მონაცემებს ეყრდნობოდა. „თამაშთა თეორია“ – პირველი ნაბიჯია ადამიანთა ურთიერთობის მკაცრი მათემატიკური ენით გადმოცემაში.
მაშ, რაში მდგომარეობს თამაშთა თეორია?[36] უნდა ითქვას, რომ ფონ ნოიმანის შემდეგ ეს დისციპლინა მნიშვნელოვნად წინ წავიდა[37], ამიტომ მე არ შემოვიფარგლები მაგალითებით მხოლოდ ჯონის წიგნიდან. წიგნი იწყება რობინზონ კრუზოს მარტივი პრობლემით – როგორ მიაღწიოს თავისთვის ოპტიმალურ შედეგს უკაცრიელი კუნძულის რესურსების პირობებში. თამაშთა თეორიაში ეს პასიანსის პრობლემას წააგავს – მოთამაშის საუკეთესო სტრატეგია დამოკიდებულია ბანქოს თანმიმდევრობით დასტაში. პრობლემა მნიშვნელოვნად რთულდება, როდესაც კუნძულზე პარასკევა აღმოჩნდება – შეუძლია თუ არა ორივეს ერთად მიაღწიოს ორივესთვის ოპტიმალურ შედეგს? ჯონი ისევ იწყებს ნულოვანი ჯამის თამაშის განხილვით ორი მოთამაშისთვის და ამ თამაშის აღწერის პროცესში შემთხვევით წყვეტს პრობლემას, რომლის შესახებ არც იცოდა. კერძოდ – როგორ ვადარებთ ერთმანეთს ადამიანის მიერ მიღებულ სარგებლიანობას[38] სხვადასხვა საქონლისგან ან საქონლის კალათებისგან,? წლებია ეკონომისტები თვლიდნენ, რომ ჩვენ მხოლოდ ორდინალური, რიგობითი შედარება შეგვიძლია – ერთი კათხა ლუდი სჯობს სამ ჭიქა კოლას, მაგრამ რამდენად სჯობს, ან რამდენად უფრო უნდა ადამიანს ლუდი კოლასთან შედარებით, ამის თქმა არ შეგვიძლია. ნოიმანმა, პრაქტიკულად ერთ დღეში, ჩამოაყალიბა „რეცეპტი“ – გავზომოთ ეს სურვილი იმ რისკით, რომლის აღებაზე მზად არის ადამიანი (პირობითად, გიორგი), ეს ლუდი რომ მიიღოს. ამ შემთხვევაში, ერთადერთი რაც გვინდა არის სკალა[39] – ვიპოვოთ ყველაზე კარგი და ყველაზე ცუდი შედეგი, რაც გიორგის შეიძლება შეხვდეს და შევუსაბამოთ ამ შედეგებს ქულები 0 და 100. მერე შევთავაზოთ გიორგის არჩევანი – კათხა ლუდი ან ლატარიის ბილეთები 100-ქულიანი შედეგის მიღწევის სულ უფრო მაღალი და მაღალი ალბათობით. რომელიღაც მომენტში გიორგი გადაწყვეტს, რომ შეთავაზებული ალბათობა საკმარისად მაღალია იმისთვის, რომ უარი თქვას ლუდზე[40] და გარისკოს თავისთვის საუკეთესო შედეგის მისაღებად ლატარიის თამაში. ეს ალბათობა იქნება მის მიერ ლუდის დალევისგან მიღებული სარგებლიანობის ერთეულების რაოდენობა. თუ ეს ალბათობაა 80% – ლუდის სარგებლიანობაა 80 ერთეული. ამ, თითქოს მარტივ იდეას, ეფუძნება ბევრი სხვა, მათ შორის დაზღვევა, გემბლინგი და სახელდობრ თამაშთა თეორიაც. რადგან შესაძლებელია სარგებლიანობის კვანტიფიკაცია, შესაძლებელია, ამ თეორიის კონტექსტში, რაციონალურობის კვანტიფიკაციაც – მოთამაშე რაციონალურია, თუ მისი სტრატეგია ყოველთვის თავისი საბოლოო შედეგის სარგებლიანობის მაქსიმიზაციას ემსახურება. ეს კი საშუალებას გვაძლევს გავაანალიზოთ თამაშები.
თამაშები შეიძლება იყოს ორ- და მეტ მოთამაშიანი. მოთამაშეებმა შეიძლება სვლები ერთდროულად გააკეთონ (ჯეირანი), ან რიგრიგობით (ჭადრაკი). ნოიმანმა შემოიღო თამაშების გრაფიკული აღწერის ხერხებიც – ნორმალური (მატრიცა, როდესაც მოთამაშეები ერთდროულად აკეთებენ სვლებს) და გაფართოებული („ხე“, რომელიც აჩვენებს თამაშის მსვლელობას, როდესაც მოთამაშეები რიგრიგობით აკეთებენ სვლას). ეს ფორმები დღესაც აქტიურად გამოიყენება. ნორმალურ ფორმაში მითითებულია მოთამაშეების ვინაობა, მათი შესაძლო სვლები და შედეგები ორივე მოთამაშისთვის[41]. შედეგების რიცხობრივი მნიშვნელობა სწორედ ზემოხსენებული სარგებლიანობების გამოთვლით მიიღება. სწორედ ამ მიდგომით უპასუხა ნოიმანმა მორგენშტერნის დილემას ჰოლმსისა და მორიარტის შესახებ. თუ მორიარტი და ჰოლმსი ერთ ქალაქში გადაიკვეთებიან, მორიარტი კლავს ჰოლმსს და „მიიღებს“ ას ქულას, თუ ჰოლმსი კენტერბერიში ჩავა, ხოლო მორიარტი – დუვრში, მაშინ ფრეა (რადგან ჰოლმსი ვერ გაიქცა ინგლისიდან) და ორივეს ნული ქულა ეწერება. და თუ ჰოლმსი დუვრში ჩავიდა და მორიარტი – კენტერბერიში, ეს უკანასკნელი „აგებს“ 50 ქულას. ფონ ნოიმანის დასკვნაა, რომ ორივემ, ოპტიმალური შედეგის მისაღწევად, უნდა გამოიყენოს ე.წ. შერეული სტრატეგია – მოგზაურობის დაწყებამდე ჰოლმსმა 60% ალბათობით უნდა აირჩიოს კენტერბერი (და 40% ალბათობით – დუვრი), ხოლო მორიარტიმ – პირიქით. შერეული სტრატეგიის იდეა მოთამაშის არაპროგნოზირობადობაა – მაგალითად ჯეირანში ჩვენ 1/3 ალბათობით ვირჩევთ ხოლმე სვლას, მუდმივად ერთი და იმავეს თამაში აუცილებლად ჩვენ წაგებაში აისახება.
„კრესწიკი-ნოლიკის“ გამოსახვა გაფართოებული ფორმით.
ზოგი თამაში, ფონ ნოიმანის განსაზღვრებით, იდეალური ინფორმაციით ხასიათდება – მოთამაშეებმა იციან ერთმანეთის ყველა წინა და, თეორიულად, ყველა შემდგომი სვლა. ასეთია, მაგალითად, ჭადრაკი. ფონ ნოიმანმა დაამტკიცა, რომ ამ ტიპის ნულოვანი ჯამის თამაშებს აქვს „ამოხსნა“ – თამაშის ყველა შესაძლო დაბოლოებიდან თუ დავიწყებთ და უკან წავალთ, აუცილებლად არსებობს ოპტიმალური სტრატეგია ორივე მოთამაშისთვის. რომ არა ჭადრაკში სვლების განუზომლად დიდი რაოდენობა[42], ცნობილი იქნებოდა, ვინ იგებს და როგორ უნდა ითამაშოს ამისთვის.
ჯონი არაიდეალური ინფორმაციის თამაშებსაც განიხილავდა და მაგალითად პოკერი მოჰყავდა. მისი ანალიზი, მიუხედავად თავად თამაშის მნიშვნელოვანი გამარტივებისა, საკმაოდ რთულია, ამიტომ აქ არ მოვიყვან, ვიტყვი უბრალოდ, რომ ბლეფს ოპტიმალურ სტრატეგიაში საკმაოდ დიდი მნიშვნელობა აქვს – ნოიმანი წერს, რომ ბლეფს ორი მოტივი აქვს – მოაჩვენო თავი ძლიერად, როდესაც სუსტი ხარ და მოაჩვენო თავი სუსტად, როდესაც ძლიერი ხარ.
ფონ ნოიმანი სრულად განიხილავს ორმოთამაშიან ნულოვანი ჯამის თამაშებს. მისი მცდელობა გაზარდოს მოთამაშეთა რიცხვი და შემოიტანოს თანამშრომლობის/ღალატის ელემენტები[43], ნაკლებად წარმატებული გამოდგა და ამაზე აღარ შევჩერდები. საბოლოო ჯამში, ეს დისციპლინა საკმაოდ წინ წავიდა, თუმცა დიდწილად რაც კი შემდგომში დაწერილა თამაშთა თეორიის შესახებ, წარმოადგენს ჯონ ფონ ნოიმანის და ოსკარ მორგენშტერნის წიგნში დარჩენილი სიცარიელეების შევსებას.
წიგნს აღფრთოვანებით შეხვდა ყველა, ეკონომისტების გარდა. მათთვის ფონ ნოიმანი აუტსაიდერი, ხოლო მორგენშტერნი კი ქედმაღალი[44], უსაფუძვლო ნაპოლეონური ამბიციებით[45] შეპყრობილი წარუმატებელი ეკონომისტი იყო. და, რაც მთავარია, წიგნი ძალიან რთული გამოდგა ეკონომისტებისთვის, რომლებიც არ იყვნენ მიჩვეულები ასეთ მათემატიკას[46]. ისიც უნდა ითქვას, რომ წიგნში მართლაც ბევრი სიცარიელე და დაუმთავრებლობაა. რაც მთავარია, მისთვის გაუგებარი იყო, რომ ადამიანებს შეეძლოთ ერჩიათ თანამშრომლობაზე უარის თქმა, როდესაც თანამშრომლობით ჯამურად მეტს მიიღებდნენ, ვიდრე ერთმანეთის მოტყუებით. მოკლედ რომ ვთქვათ, ნოიმანს არ გაუთვალისწინებია პატიმრის დილემა[47] და ნეშის იდეა, რომ „ყველა თავისთვისაა“ მისთვის მიუღებელი აღმოჩნდა[48].
ასეა თუ ისე, თამაშთა თეორია შეგვიძლია გამოვიყენოთ ნებისმიერი კონფლიქტური სიტუაციის აღსაწერად და გასაანალიზებლად, სადაც მოწინააღმდეგეებს აქვთ სხვადასხვა სტრატეგიები და მათი გადაწყვეტილებები ერთმანეთზეა დამოკიდებული. სრულიად მოულოდნელად ეკონომისტებისთვის, თამაშთა თეორია აღწერს ცხოველთა ქცევას და ხსნის, როგორ შეიძლება წარმოიშვას თანამშრომლობა ბუნებაში, სადაც ან გჭამენ ან ჭამ. უილიამ ჰამილტონმა შექმნა ალტრუიზმის მათემატიკური მოდელი, სადაც აჩვენა, თამაშთა თეორიის ფარგლებში, რომ თავგანწირვაზე პასუხისმგებელი გენები ვრცელდება, თუ ეს თავგანწირვა იმავე სახეობის ცხოველებს ადგება[49]. მოგვიანებით, ჯორჯ პრაისმა განავრცო ეს იდეა მთლიანად ევოლუციურ თეორიაზე და ჯონ მეინარდ სმითთან ერთად შექმნა ევოლუციურად სტაბილური სტრატეგიის კონცეფცია.
არანაკლებ საინტერესოა ისიც, რომ თამაშთა თეორია – და ზემოთ ნახსენები პატიმრის დილემა – კარგად ხსნის ცივი ომის და შეიარაღებათა რბოლის დინამიკას. ეს კიდევ უფრო მნიშვნელოვანია იმიტომ, რომ ცივი ომის საწყის ეტაპებზე ჯონ ფონ ნოიმანს საკმაოდ მნიშვნელოვანი როლი ჰქონდა.
[1] გარდა ძირითადი წყაროებისა, ეს თავი, ძირითადად, ეყრდნობა ჯორჯო ისრაელის და ანა მიიან გასკას წიგნს „სამყარო, როგორც მათემატიკური თამაში“ (Israel, Giorgio, and Ana Millán Gasca. The world as a mathematical game: John von Neumann and twentieth century science. Basel: Birkhäuser, 2009) და რობერტ ლეონარდის წიგნს „ფონ ნოიმანი, მორგენშტერნი და თამაშთა თეორიის შექმნა (Leonard, Robert. Von Neumann, Morgenstern, and the creation of game theory: From chess to social science, 1900–1960. Cambridge University Press, 2010).
[2] He was the incomparable Johnny von Neumann. He darted briefly into our domain, and it has never been the same since.
[3] A Beautiful Mind
[4] უნდა ითქვას, რეალური მოვლენებისგან საკმაოდ შორს მდგომი.
[5] შიზოფრენია აქვს ადამიანს, მაინც.
[6] მაგალითად, რამდენმა იცის გეორგ კანტორის ან კურტ გიოდელის ტრაგიკული ბედის შესახებ?
[7] საინტერესოა, რომ თავად ჯონი არ თვლიდა, რომ ჭადრაკი თამაშია. მისთვის ჭადრაკი გამოთვლების კარგად განსაზღვრული ფორმა იყო, რომლის „ამოხსნა“, ანუ ყოველი შესაძლო პოზიციისთვის სწორი სვლის პოვნა შესაძლებელი იყო. „ნამდვილი თამაშები“ მისთვის გულისხმობდა ბლეფის, მოტყუების, საკუთარი თავის მეორე მოთამაშის პოზიციაში ჩაყენების შესაძლებლობას.
[8] მის მასწავლებლებში დავიდ ჰილბერტიც კი იყო.
[9] მსოფლიოს პირველი ჩემპიონისთვის, ვილჰელმ სტაინიცისთვის, მაგალითად, ჭადრაკი იყო იგივე, რაც ფონ ნოიმანისთვის – ლოგიკური, ამოხსნადი ამოცანა, ოპტიმალური სვლებით ყველა შესაძლო სიტუაციაში.
[10] საბედნიეროდ, კუთვნილებითი ნაცვალსახელის გარეშე.
[11] წიგნის თავებს შორისაა „ეკონომიის პრინციპი“ და „წონასწორობა და დომინირება“.
[12] უნდა აღინიშნოს, რომ 1912 წელს დიდმა მათემატიკოსმა ერნსტ ცერმელომ სიმრავლეთა თეორიის ფარგლებში დაამტკიცა თეორია ჭადრაკის შესახებ, კერძოდ ის, რომ არსებობს მოთამაშეთა რაციონალური სტრატეგია, რომელიც წინასწარ განსაზღვრავს თამაშის შედეგს. ამ ნაშრომში მან პირველად გამოიყენა თამაშის აღწერის ე.წ. გაფართოებული ფორმა, სადაც თამაში წარმოდგენილია ერთგვარი ხის სახით, რომლის შტოები ყოველი მომენტში ყველა შესაძლო სვლას წარმოადგენს. ეს ფორმა ძალიან ფართოდ გამოიყენება დღესაც.
[13] ჯონიმდე რამდენიმე წლით ადრე ფრანგმა მათემატიკოსმა ემილ ბორელმა დაწერა რამდენიმე სტატია ამავე საკითხზე. გზა, რომელიც ბორელმა აირჩია (მას მიაჩნდა, რომ ფსიქოლოგიის გამოყენება აუცილებელი იყო), ჩიხი აღმოჩნდა, თუმცა სწორედ მას ეკუთვნის თამაშის ე.წ. ნორმალური ფორმა, რომელიც დღეს ერთჯერადი ერთსვლიანი თამაშის სტანდარტული წარმოდგენაა. მასაც და გაფართოებულ ფორმასაც კიდევ შევხვდებით.
[14] Zur Theorie der Gesellschaftsspiele; თავად სტატია ფონ ნოიმანმა 1926 დაწერა და წარადგინა სემინარზე გიოტინგენში
[15] გავიხსენოთ, რომ კვანტურ მექანიკაში ერთ-ერთი პრობლემა, სწორედ დამკვირვებლის გავლენაა დაკვირვების ობიექტებზე. იმის გათვალისწინებით, რომ ფონ ნოიმანი სწორედ იმ პერიოდში ინტერესდება კვანტური მექანიკით, ეს უბრალო დამთხვევა არ უნდა იყოს.
[16] ე.წ. ნულოვანი ჯამის (zero-sum) თამაში, როდესაც ერთი მოთამაშის მოგება ზუსტად უდრის მეორის წაგებას.
[17] მათ შორის იგულისხმება სტრატეგიები, რომლებიც არსებულ სტრატეგიებს ალბათობების რაღაც განაწილებას შეუსაბამებს. მაგალითად, ჯეირანის თამაშისას, ყოველი თამაშის წინ თითოეულ სვლას (ქაღალდი, ქვა, მაკრატელი) 1/3 ალბათობას რომ ვანიჭებდეთ და ისე ვირჩევდეთ, რათა მოწინააღმდეგისთვის ჩვენი ქმედება მოულოდნელი და არაპროგნოზირებადი იყოს.
[18] როგორც მაკრეი წერს, ამ მოკლე სტატიამ გავლენა იქონია მინიმუმ ექვს ნობელიანტზე, მათ შორის, კენეთ ეროუზე, ჟერარ დებროზე და პოლ სემიუელსონზე.
[19] Leon Walras
[20] ერთი რომელიმე საქონლის ერთეულებში. რეალურ ცხოვრებაში ეს არის ფული – ყველა დანარჩენი ფასი ჩვენ ფულად ერთეულებში გვაქვს გამოსახული. შეიძლება ყოფილიყო ვაშლებში, სკამებში ან აიფონებში.
[21] Karl Menger, ავსტრიული ეკონომიკური სკოლის დამფუძნებლის, ასევე კარლ მენგერის (ოღონდ Carl Menger, Carl!) შვილი.
[22] ეკონომისტებისთვის
[23] რომელიც ეკონომიკაში მინიმალურ საპროცენტო განაკვეთს უდრის (საინტერესოა, რომ ანალოგიური შედეგი, ოღონდ სულ სხვა მოდელის მეშვეობით მიიღო კიდევ ერთმა მათემატიკოსმა ვუნდერკინდმა, ფრენკ რამზიმ, 1928 წელს; უცნობია, იცოდა თუ არა ფონ ნოიმანმა რამზის მოდელის შესახებ). თავად სტატია, როგორც აღვნიშნე, მათემატიკურად საკმაოდ რთულია, მაგრამ იურგ ნიჰანსის „ეკონომიკური თეორიის ისტორიაში“ არის ამ მოდელის მარტივი ახსნა ორი ცვლადის შემთხვევაში (Niehans, Jürg. A history of economic theory: classic contributions, 1720-1980. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1990; pp. 400-404).
[24] უნდა ითქვას, რომ თავად აქსიომები არა არის ბოლომდე რეალისტური – მაგალითად, სამუშაო ძალის უსასრულო ოდენობა.
[25] ის განსაკუთრებით უსვამდა ხაზს პრიმიტიულ მათემატიკას, რომელიც იმ დროს გამოიყენებოდა ეკონომიკაში და ასკვნიდა, რომ ეკონომიკა „მილიონი მილით“ ჩამორჩება ფიზიკას. დანანებით უნდა ვთქვა, რომ მიუხედავად მათემატიზაციაში დიდი წინსვლისა, ეს დღესაც ჭეშმარიტებაა.
[26] არ შემიძლია არ აღვნიშნო, რომ ფრიდრიხ მესამე გერმანელი იმპერატორის კვალობაზე გასაკვირად ლიბერალი და დემოკრატი იყო. სამწუხაროდ, ის მხოლოდ 99 დღის განმავლობაში მეფობდა და გავრცელებული მოსაზრებით, რომ არა მისი ნაადრევი სიკვდილი, პირველი მსოფლიო ომი შეიძლება არ მომხდარიყო კიდეც.
[27] ეს იყო მანამ, სანამ ფონ ნოიმანი ეკონომიკას შეცვლიდა, რა თქმა უნდა.
[28] ავსტრიული სკოლის წარმომადგენლები, ჯერ კიდევ კარლ მენგერ უფროსისგან მოყოლებული, თვლიდნენ, რომ მათემატიკას ეკონომიკაში არაფერი ესაქმება. კარლ მენგერ უმცროსი თვლიდა, რომ ეს იმის ბრალი იყო, რომ მათ უბრალოდ არ იცოდნენ მათემატიკა, მოვიდნენ რა ეკონომიკაში იურისპრუდენციის და საჯარო სამსახურის სფეროებიდან. ის წერს, რომ მამამისი ზრდასრულ ასაკში ეცადა დიფერენციალური აღრიცხვის სწავლას, მაგრამ მისთვის ეს გვიანი იყო.
[29] მათ შორის იმიტომაც, რომ სხვა ებრაელმა პროფესორებმა, რომლებიც, უმეტესწილად, მემარცხენე მიდრეკილებებით ხასიათდებოდნენ, ფონ მიზესს მხარი არ დაუჭირეს.
[30] ჩემი აზრით.
[31] მის სასარგებლოდ უნდა ითქვას, რომ ანტისემიტური რემარკები, რომლებიც ხშირად გვხვდება მის დღიურებში 1938 წლამდე, ანშლუსის მერე პრაქტიკულად ქრება.
[32] Francis Ysidro Edgeworth
[33] მაგალითად მას მოჰყავდა შერლოკ ჰოლმსისა და მორიარტის დაპირისპირება, რომელშიც ჰოლმსი, გარბის მორიარტისგან მატარებლით ლონდონიდან დუვრში, მარშრუტით, რომელზეც არის ერთი საშუალედო სადგური. ჰოლმსი დაინახავს მორიარტის ლონდონის სადგურში და ჩათვლის, რომ მორიარტი უფრო სწრაფი მატარებლით დახვდება დუვრში. ამიტომ ის ჩადის საშუალედო სადგურში. წიგნში ეს საკმარისი აღმოჩნდა მორიარტის გასაცურებლად, მაგრამ რა მოხდებოდა, კითხულობს მორგენშტერნი, მორიარტი კიდევ უფრო ჭკვიანი რომ ყოფილიყო და მიმხვდარიყო ჰოლმსის ამ სვლას? მაშინ ისიც საშუალედო სადგურში ჩავიდოდა. მაგრამ, მეორე მხრივ, ჰოლმსსაც ხომ შეიძლება გაეთვალა მორიარტის ეს ნაბიჯი და დუვრამდე ჩასულიყო? ხოლო მორიარტის გაეთვალა, რომ ჰოლმსი გათვლიდა… და ა.შ.
[34] თუმცაღა, სხვადასხვა მიზეზით – მორგენშტერნი ფონ მიზესის გავლენის ქვეშ იყო, რომელიც ამბობდა, რომ მათემატიკას არაფერი ესაქმება ეკონომიკაში და ის მხოლოდ ლოგიკაზე უნდა აიგოს; ფონ ნოიმანი კი უბრალოდ თვლიდა, რომ სათანადო მათემატიკა არ არსებობს და შესაქმნელია. თუმცა, საბოლოოდ, ორივე თვლიდა, რომ ახალი მიდგომებია საჭირო.
[35] 1941 წლის 12 ივლისის ჩანაწერში ის ამბობს, რომ „ალბათ, სექტემბრამდე მოვრჩებით“.
[36] მომდევნო რამდენიმე აბზაცი, ძირითადად, ეფუძნება ბჰაჩატარიას და ლეონარდის წიგნებს.
[37] პირველ რიგში, ჯონ ნეშის წყალობით
[38] ე.წ. utility. ის, ხშირად, ფულთან შეიძლება იყოს დაკავშირებული, მაგრამ ყოველთვის არა.
[39] ცელსიურის და ფარენჰაიტის სკალებზე აგებული თერმომეტრები ერთსა და იმავე ტემპერატურას ზომავენ, უბრალოდ სხვადასხვა სკალით: პირველი 0-დან 100-მდე, ხოლო მეორე – 32-დან, 212-მდე. განსხვავება მხოლოდ მასშტაბშია.
[40] პრინციპში, გიორგის გააჩნია…
[41] ნულოვანი ჯამის თამაშის შემთხვევაში მხოლოდ პირველი მოთამაშის შედეგიც საკმარისია – მეორის იგივე იქნება, უბრალოდ მინუს ნიშნით.
[42] ადრე ნახსენებმა კლოდ შენონმა დათვალა, რომ ჭადრაკის სხვადასხვა შესაძლო პარტიების რაოდენობა არის 10120. შედარებისთვის ვიტყვი, რომ ხილულ სამყაროში ელემენტარულ ნაწილაკთა ჯამური რაოდენობა არის, მაქსიმუმ, 1096.
[43] წარმოიდგინეთ „სატახტოთა თამაშების თეორია“.
[44] ერთნაირი წარმატებით ლანძღავდა კეინსსაც და ჰაიეკსაც.
[45] პოლ სემიუელსონი
[46] რამდენიმე ათწლეული და ეს რადიკალურად შეიცვლება.
[47] დღეს პატიმრის დილემა და ნეშის წონასწორობა თამაშთა თეორიაში მნიშვნელოვან ადგილს იკავებს, მაგრამ, რაკიღა თავად ნოიმანს ამ იდეებთან კავშირი არ აქვს და რადგან ეს თავი (და მთლიანად ჯონის ბიოგრაფია) ისედაც ძალიან გრძელია, ვარჩიე გამოვტოვე. დაინტერესებულთათვის, საუკეთესო წიგნი თამაშთა თეორიის ისტორიაზე, ალბათ, არის Poundstone, William. Prisoner’s Dilemma/John Von Neumann, game theory and the puzzle of the bomb. Anchor, 1993.
[48] სწორედ ამიტომ, მან საკმაოდ ცივად მიიღო ახალგაზრდა ნეში, როდესაც ამ უკანასკნელმა წარუდგინა თავისი იდეები თამაშთა თეორიის მათემატიკური ჩარჩოსა და წონასწორობის შესახებ. და სწორედ ამიტომ იყო ბედნიერი, როდესაც 1950 წელს RAND-ში ჩატარებულმა ექსპერიმენტმა პრაქტიკულად დაადასტურა, რომ ადამიანები, უმეტესწილად, არ იქცევიან, როგორც სრული ეგოისტები.
[49] რიჩარდ დოკინზის „ეგოისტური გენი“ ამ თეორიის პოპულარიზაციას წარმოადგენს.
2. მარკ იზამბარ ბრუნელი, 1836 წელი
3. აკვილში შესვლისას ეს აბრა გვხვდება.
bachetc 